Pavages du plan

Groupes de pavages: Introduction
Les arabes, bâtisseurs, entre autres merveilles, de l'Alhambra, connaissaient déjà avant même le VII^è.s., ces pavages systématiques et les utilisaient pour réaliser des carrelages à motifs décoratifs réguliers,...
En revanche, la démonstration du nombre limité des catégories de pavages analogues est l'oeuvre de Ievgrad S. Fedorov (minéralogiste russe (1853-1919)).

 

Théorème de Fédorov: Il existe à isomorphisme près 17 groupes de pavages du plan. Une démonstration de ce théorème est exposée dans un manuel de préparation à l'agrégation de mathématiques (*).

Pour faire simple, disons que ce théorème démontre qu'il n'existe que 17 types de pavages du plan, où par "pavage du plan" on entend:
- remplissage complet et sans recouvrement du plan par des "pavés" tous identiques;
- de plus le plan peut être rempli en appliquant des transformations géométriques (des isométries plus précisément) à un unique "pavé" de départ.

Pour en apprendre plus sur Ievgrad S. Fedorov, visitez le site Chronomaths de l'Université de Marseille.

Les 17 groupes de pavages:
Nous vous proposons de découvrir les 17 types de pavages:

		Motif
Type	1	2	3
Parallélogramme asymétrique
Parallélogramme symétrique
Hexagonal trois rotatif
Carré quatre rotatif
Hexagonal six rotatif
Rhombique monosymétrique
Rectangulaire monosymétrique
Rectangulaire glissant
Rhombique bisymétrique	En travaux
Rectangulaire bisymétrique
Rectangulaire glissant symétrique
Rectangulaire biglissant
Hexagonal trois rotatif symétrique
Hexagonal trisymétrique
Carré totalement symétrique	En travaux
Carré quatre rotatif glissant
Hexagonal totalement symétrique

Remarques:
(1) En dessous d'une définition de 800*600, plusieurs pavages peineront à tenir sur l'écran.

(2) Dans les animations ci-dessus, seules les formes et lettres qui y sont inscrites doivent être prises en compte.
Nous avons pris des libertés avec les couleurs pour rendre le résultat plus lisible, plus esthétique, mais il faut savoir que si vous tenez compte des couleurs, les groupes de pavages sont changés.